Как видно из шпоры, что бы получить характеристическое уравнения нужно заменить икс с двумя точками на r в квадрате, икс с точкой на r а просто икс вообще убрать. Далее приравниваем к нулю специальную правую часть 9на рисунке я написал что А(t) отбрасываем, где A(t) – и есть спец правая часть. В итоге получается обыкновенное квадратное уравнение, корни которого и являются корнями характеристического уравнения. Находим дискриминант ну и тд. Далее, в зависимости от вида корней характеристического уравнения выбираем в каком виде будем искать общее уравнение диф уравнения (смотри рисунок). Далее бабулька (Эльвира Ивановна те) написала в каком виде искать частное решение, если спец правая часть выглядит вот так A(t) = sinpt , лично я этим не пользуюсь, как то сложно и непонятно для меня. Для решения задач я использую немного другую
Итак, немного вышки из моей шпаргалки, которую мне написала еще моя преподавательница по высшей математике Боброва Эльвира Ивановна, за что ей большое от нас спасибо. На этой шпоре написан вид общего решения диф. уравнения второго порядка в зависимости от вида корней характеристического уравнения. Ах да, совсем забыл – нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни, например:
“Решение дифференциального уравнения второго порядка со специальной правой частью равно сумме общего и частного решений”
Итак, совершенно очевидно, что дифференциальное уравнение движение всегда получается второго порядка. Если значение какой либо силы зависит от времени или в состав диф уравнения входит константа – получается диф. уравнение второго порядка со специальной правой частью. Напомню, что в этом случае решение уравнение будет искаться как сумма общего и частного решений: общим будет решение уравнения с нулем вместо специальной правой части, а частным – с учетом этой правой части. Как видите, после составления диф уравнения, теоретическая механика заканчивается и начинается высшая математика, но не стоит в панике закрывать эту страницу – я постараюсь подробно и просто объяснить что к чему.
При решении задач на составление диф. уравнений движения, следует придерживаться следующих рекомендаций: направление координатной оси пусть совпадает с направлением движения. Если есть пружина – пусть она будет на рисунке растянутой, так чтобы проекция силы упругости была отрицательна, пусть начало координат совпадает с положением точки в состоянии статического равновесия (это такое положение, при котором сила упругости, соответствующая статической деформации пружины, уравновешивает силу тяжести, трения и тд). Если есть система пружин – заменим их на пружину с эквивалентной жесткостью (делается как с током в проводах – если две параллельные пружины, то их жесткость складывается, если две последовательно соединенных - то произведение их жесткостей делиться на их сумму). Если имеет место сила притяжения или отталкивания – целесообразно разложить ее на составляющие по осям координат.
“Сила сопротивления среды движению равна произведению коэффициента вязкости среды (мю) на скорость (или квадрат скорости) движения точки в вязкой среде. Эта сила направлена в противоположную сторону движения”
“Сила трения равна произведению коэффициента упругости (жесткости) пружины на ее деформацию. Направлена сила упругости в обратную сторону деформации”
Помимо силы трения, реакции опор и внешних сил (в том числе и силы тяжести) на тело могут действовать и другие силы: силы сопротивления движению среды, силы упругости, силы притяжения или отталкивания. От того, какие именно или в каком сочетании– зависит вид дифференциального уравнения. Я немного запутал или усложнил суть этого текста, но только для того, чтобы охватить все многообразие существующих дифференциальных уравнения движения материальных точек.
“сила трения равна модулю реакции опор умноженной на коэффициент трения скольжения и направлена в обратную сторону движения”
Ярким примером этой задачи является семейство задач Д1 – Д3 из сборников задач под редакцией Тарга С.М. и Яблонского А.А. Поэтому советую их скачать и бегло просмотреть. В этих задачах требуется определить какие то величины: закон движения точки на каком либо участке, скорость или какую либо величину – это не важно. Решение задачи сводиться к составлению дифференциального уравнения движения. Как известно – сила это масса умноженная на ускорение. Ну вот тут то же самое, только не сила – а сумма сил действующих на точку. Не ускорение, а вторая производная от перемещения. Далее вводятся координатные оси (если точка движется вдоль наклонной плоскости или по прямой – координатная ось Х пусть будет ей параллельна). Далее находятся проекции на оси координат внешних сил и реакций опор, действующих на материальную точку. Эти проекции приравниваются к массе умноженной на вторую производную соответствующей координаты точки. Если короче – масса точки умноженная на вторую производную от икс по времени равна сумме проекций всех сил, действующих на точку, на эту ось. Если точка движется по прямой, то суммы проекций сил на другие оси равны нулю, так как ускорение движения по этим осям отсутствует (нет движения – нет ускорения). Из таких уравнений обычно находят значение реакции опор для определения модуля силы трения, которая как раз таки будет давать проекцию на ось, вдоль которой совершается движение. Заметим, что направление силы трения противоположно направлению движения материальной точки.
Динамика материальной точки дифференциальные уравнения движения Ищите кому заказать термех? Присылайте своё задание на почту администрации сайта , пишите в ICQ 357614154 . После ознакомления с заданием я вышлю Вам свой ответ с указанием цены и срока выполнения работы. О способах
Оперативная помощь
Динамика материальной точки дифференциальные уравнения движения. Публикации. Готовые задачи и решения задач онлайн
Комментариев нет:
Отправить комментарий